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<!DOCTYPE html>

<title>Équation de diffusion</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Équation de diffusion</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="fr" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="fr" dir="ltr">L'équation de diffusion est une <a href="%C3%89quation_aux_d%C3%A9riv%C3%A9es_partielles" title="Équation aux dérivées partielles">équation aux dérivées partielles</a>. En physique, elle décrit le comportement du déplacement collectif de particules (molécules, atomes, photons. neutrons, etc.) ou de quasi-particules comme les <a href="Phonon" title="Phonon">phonons</a> dans un milieu causé par le mouvement aléatoire de chaque particule lorsque les échelles de temps et d'espace macroscopiques sont grandes devant leurs homologues microscopiques. Dans le cas contraire le problème est décrit par l'<a href="%C3%89quation_de_Boltzmann" title="Équation de Boltzmann">équation de Boltzmann</a>. En mathématiques, l'une ou l'autre de ces descriptions s'applique à tout sujet relevant du <a href="Processus_de_Markov" title="Processus de Markov">processus de Markov</a> comme dans d'autres champs, telles que les sciences matérielles, la science de l’information, de la vie, sociales, etc. On parle alors plutôt de processus brownien.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Énoncé">Énoncé</h2></div>

L'équation de diffusion se formule :

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {div} \left[D_{\phi }\ {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\phi \right]={\frac {\partial \phi }{\partial t}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cb0f810bb541eebe2ce9bc1cd066f1f24a5f187b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:22.408ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {div} \left[D_{\phi }\ {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\phi \right]={\frac {\partial \phi }{\partial t}}}" loading="lazy"></center></blockquote>

avec :

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi }" loading="lazy"> la grandeur qui se diffuse, par exemple la concentration particulaire ;</li>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D_{\phi }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/139a64a52f463645d3429e4afd96b0e8af4d1d70.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D_{\phi }}" loading="lazy"> le <a href="Coefficient_de_diffusion" title="Coefficient de diffusion">coefficient de diffusion</a> collectif associé à <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi }" loading="lazy">.</li></ul>

Si le coefficient de diffusion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D_{\phi }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D_{\phi }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/139a64a52f463645d3429e4afd96b0e8af4d1d70.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D_{\phi }}" loading="lazy"> est une fonction de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi }" loading="lazy">, alors l'équation de diffusion n'est pas linéaire.

Plus généralement, quand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D_{\phi }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D_{\phi }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/139a64a52f463645d3429e4afd96b0e8af4d1d70.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D_{\phi }}" loading="lazy"> est une <a href="Matrice_d%C3%A9finie_positive" title="Matrice définie positive">matrice définie positive</a> symétrique, l’équation décrit une diffusion <a href="Anisotropie" title="Anisotropie">anisotrope</a> :

Pour <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D_{\phi }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D_{\phi }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/139a64a52f463645d3429e4afd96b0e8af4d1d70.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D_{\phi }}" loading="lazy"> une matrice, l'équation de diffusion devient :

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[{D}_{\phi ,ij}{\frac {\partial \phi }{\partial x_{j}}}\right]={\frac {\partial \phi }{\partial t}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dc27788a4eb85b767632014ea9883b9ee40f4005.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:30.48ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[{D}_{\phi ,ij}{\frac {\partial \phi }{\partial x_{j}}}\right]={\frac {\partial \phi }{\partial t}}}" loading="lazy">

</center></blockquote>

Dans le cas où <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D_{\phi }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D_{\phi }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/139a64a52f463645d3429e4afd96b0e8af4d1d70.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D_{\phi }}" loading="lazy"> est constant, l'équation se réduit à l'<a href="%C3%89quation_de_la_chaleur" title="Équation de la chaleur">équation de la chaleur</a> :

Si <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D_{\phi }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D_{\phi }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/139a64a52f463645d3429e4afd96b0e8af4d1d70.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D_{\phi }}" loading="lazy"> est constant :

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D_{\phi }\Delta \phi ={\frac {\partial \phi }{\partial t}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b55c13cefb09fa310806f0694ec99aea4e2e00aa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:13.096ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle D_{\phi }\Delta \phi ={\frac {\partial \phi }{\partial t}}}" loading="lazy"></center></blockquote>

avec :

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/32769037c408874e1890f77554c65f39c523ebe2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.936ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta }" loading="lazy"> l'opérateur <a href="Laplacien" class="mw-redirect" title="Laplacien">laplacien</a>.</li></ul>

Plus généralement lorsqu'il existe plusieurs types de particules dans le milieu et plusieurs sources pour la diffusion le système est décrit par un système linéaire comme dans le cas des <a href="%C3%89quations_de_Stefan-Maxwell" title="Équations de Stefan-Maxwell">équations de Stefan-Maxwell</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Histoire_et_développement">Histoire et développement</h2></div>

De nombreux phénomènes physiques, dans des domaines scientifiques différents, se décrivent mathématiquement par les équations de diffusion, qui traduisent l'évolution d'un processus de Markov en relation avec la <a href="Loi_normale" title="Loi normale">loi normale</a><a href="#cite_note-1">[1]</a>. En physique, le déplacement de particules diffusées correspond au <a href="Mouvement_brownien" title="Mouvement brownien">mouvement brownien</a> satisfaisant la loi parabolique<a href="#cite_note-R._Brown,_1827-2">[2]</a>. Leur utilisation peut cependant être étendu à des domaines plus éloignés. Ainsi, les équations de diffusion sont utilisés en <a href="Science_des_mat%C3%A9riaux" title="Science des matériaux">science des matériaux</a>, pour la relation d'équilibre local entre défauts dans les cristaux de <a href="Silicone" title="Silicone">silicone</a>, ou en biologie, pour l'équilibre prédateur-proie.

L'<a href="%C3%89quation_de_la_chaleur" title="Équation de la chaleur">équation de la chaleur</a> proposée par Fourier en 1822 a été pensée pour décrire l'évolution de la température dans un matériau<a href="#cite_note-3">[3]</a>. En 1827, le mouvement brownien a été mis en évidence, où l'auto-diffusion de l'eau est mise en évidence par le déplacement de grains de pollen<a href="#cite_note-R._Brown,_1827-2">[2]</a>. Néanmoins, le mouvement brownien n'est pas reconnu comme un problème de diffusion avant les théories d'Einstein en 1905<a href="#cite_note-4">[4]</a>. Bien qu'il s'agisse d'un problème de diffusion, Fick applique l'équation de la chaleur au phénomène de diffusion dès 1855<a href="#cite_note-5">[5]</a>.

Le <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_de_flux-divergence" class="mw-redirect" title="Théorème de flux-divergence">théorème de flux-divergence</a> montre que l'équation de diffusion est valide quelle que soit l'état du matériau (solide, liquide ou gazeux) comme une loi de conservation, s'il n'y a ni source ni perte dans le système<a href="#cite_note-CF_Gauss,_1840-6">[6]</a>. Il montre aussi que l'équivalence entre la première et la deuxième loi de Fick est mathématiquement incomplète sans un flux de diffusion constant lié à un mouvement brownien localement en espace. Ce flux est indispensable pour la compréhension du mécanisme d'auto-diffusion<a href="#cite_note-Mathematical_Physics_in_Diffusion_Problems_2015-7">[7]</a>. Ce mécanisme n'a pas été étudié en lui-même, mais indirectement par la diffusion d'impuretés dans un milieu pur par la théorie du mouvement brownien d'Einstein et l'<a href="%C3%89quation_de_Langevin" title="Équation de Langevin">équation de Langevin</a><a href="#cite_note-8">[8]</a>.

La diffusivité de l'équation dépend généralement de la concentration des particules. Dans ce cas, l'équation de diffusion devient non linéaire et sa résolution est impossible, même dans le cas à une dimension spatiale. En accord avec la loi parabolique, Boltzmann transforme l'équation de diffusion, qui change d'une équation aux dérives partielles non linéaire à une équation différentielle ordinaire non-linéaire en 1894<a href="#cite_note-9">[9]</a>.

Depuis, toutefois, la transformation de Boltzmann n'a pas été résolue mathématiquement avant la fin du <abbr class="abbr" title="20ᵉ siècle">XXe</abbr> siècle, même si Matano l'utilise empiriquement pour les problèmes d'interdiffusion dans la métallurgie<a href="#cite_note-10">[10]</a>.

Ici, la méthode de résolution analytique de l’équation de diffusion, dont le calcul est plus efficace par rapport aux méthodes analytiques existantes telles que les transformations intégrales de Fourier ou de Laplace ou la <a href="S%C3%A9paration_des_variables" title="Séparation des variables">séparation des variables</a>, a été établi dans le cas parabolique<a href="#cite_note-11">[11]</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Dérivation">Dérivation</h2></div>

L'équation de diffusion peut être simplement déduite de l'<a href="%C3%89quation_de_conservation" title="Équation de conservation">équation de conservation</a>, qui dit qu'un changement de densité dans toute partie du système est dû aux échanges avec l'extérieur du système. Dans les faits, aucun matériau n'est créé ou détruit :

<mfrac>

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</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0\,,\qquad \mathbf {j} =\phi \mathbf {v} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/151b548cad97beb77f5ab6072eb187bb6a8e283e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:27.85ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0\,,\qquad \mathbf {j} =\phi \mathbf {v} }" loading="lazy"></dd></dl>

avec j le flux du matériau diffusant et v la vitesse des particules. L'équation de diffusion apparait quand on la combine avec la <a href="Lois_de_Fick" title="Lois de Fick">première loi de Fick</a>, qui fait l'hypothèse que le flux du matériau diffusant dans toute partie du système est proportionnelle au gradient local de densité :

</mrow>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {j} =-D(\phi ,\mathbf {r} )\,\nabla \phi (\mathbf {r} ,t).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cc11362d3d11992d993971a6b95d7676557167a3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.164ex; width:22.282ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {j} =-D(\phi ,\mathbf {r} )\,\nabla \phi (\mathbf {r} ,t).}" loading="lazy"></dd></dl>

En général le problème est décrit par l'<a href="%C3%89quation_de_Boltzmann" title="Équation de Boltzmann">équation de Boltzmann</a> dont l'équation de diffusion constitue une approximation lorsque les échelles de temps et d'espace macroscopiques sont grandes par rapport à leurs homologues microscopiques. Ceci est vrai pour la diffusion de masse, mais également pour la <a href="Conduction_thermique" title="Conduction thermique">conduction thermique</a>, le <a href="Transfert_radiatif" title="Transfert radiatif">transfert radiatif</a> ou tout autre processus de transfert d'énergie.

Le transfert diffusif peut également être obtenu à partir d'un processus de <a href="Marche_al%C3%A9atoire" title="Marche aléatoire">marche aléatoire</a> comme le <a href="Mouvement_brownien" title="Mouvement brownien">mouvement brownien</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Discrétisation">Discrétisation</h2></div>

L'équation de diffusion est continue en espace et en temps. On peut donc discrétiser en espace, en temps ou les deux, ce qui arrive en application. La discrétisation en temps seule ne fait pas apparaitre de nouveaux phénomènes ; dans la discrétisation en espace seule, la <a href="Fonction_de_Green" title="Fonction de Green">fonction de Green</a> du système devient le noyau gaussien discret. La discrétisation en espace et en temps fait apparaitre une <a href="Marche_al%C3%A9atoire" title="Marche aléatoire">marche aléatoire</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Discrétisation_en_traitement_de_l'image">Discrétisation en traitement de l'image</h3></div>

La <a href="R%C3%A8gle_du_produit" title="Règle du produit">règle du produit</a> est utilisée pour le cas de la diffusion avec un tenseur anisotropique, dans les schémas de discrétisation, afin d'éviter que l'utilisation de formules du premier ordre ne crée des artefacts. Une réécriture couramment utilisée en <a href="Traitement_de_l'image" class="mw-redirect" title="Traitement de l'image">traitement de l'image</a> est :

<mfrac>

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</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

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</mrow>

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<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot \left[D(\phi ,\mathbf {r} )\right]\nabla \phi (\mathbf {r} ,t)+{\rm {tr}}\left[D(\phi ,\mathbf {r} )\left(\nabla \nabla ^{T}\phi (\mathbf {r} ,t)\right)\right]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7e11e55c7497fc9f59a2941e1743b24a76c0e5a4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:60.266ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot \left[D(\phi ,\mathbf {r} )\right]\nabla \phi (\mathbf {r} ,t)+{\rm {tr}}\left[D(\phi ,\mathbf {r} )\left(\nabla \nabla ^{T}\phi (\mathbf {r} ,t)\right)\right]}" loading="lazy"></dd></dl>

avec tr désignant la <a href="Trace_(alg%C3%A8bre)" title="Trace (algèbre)">trace</a> du tenseur du <abbr class="abbr" title="Deuxième">2e</abbr> ordre, et l'exposant T pour la <a href="Matrice_transpos%C3%A9e" title="Matrice transposée">transposée</a>, dans laquelle, en traitement de l’image, D(ϕ, r) sont des matrices symétriques construites à partir des <a href="Vecteur_propre" class="mw-redirect" title="Vecteur propre">vecteurs propres</a> des tenseurs de structure de l'image. Les dérivées spatiales peuvent être approchées par des différences finies du <abbr class="abbr" title="Deuxième">2e</abbr> ordre. L'algorithme de diffusion obtenu peut être vu comme une convolution de l’image avec un noyau mobile (ou stencil) de taille 3 × 3 en 2D et 3 × 3 × 3 en 3D.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes_et_références">Notes et références</h2></div>

<ul><li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « <a class="external text" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Diffusion_equation?oldid=840213990">Diffusion equation</a> » (<a class="external text" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Diffusion_equation?action=history">voir la liste des auteurs</a>).</li></ul>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="Andre%C3%AF_Markov_(math%C3%A9maticien)" title="Andreï Markov (mathématicien)">A. A. Markov</a>, « <cite style="font-style:normal" lang="en">The theory of algorithms</cite> », American mathematical society translations series, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 2, <abbr class="abbr" title="numéro">no</abbr> 15,‎ <time>1960</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 1-14<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=The+theory+of+algorithms&rft.jtitle=American+mathematical+society+translations+series&rft.issue=15&rft.aulast=Markov&rft.aufirst=A.+A.&rft.date=1960&rft.volume=2&rft.pages=1-14&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3A%C3%89quation+de+diffusion">

</li>

<li id="cite_note-R._Brown,_1827-2"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="Robert_Brown_(botaniste)" title="Robert Brown (botaniste)">Robertus Brown</a>, « <cite style="font-style:normal" lang="en">A brief account of microscopical observations on the particles contained in the pollen of plants ; and on the general existence of active molecules in organic and inorganic bodies</cite> », Floræ Novæ Hollandæ,‎ <time>1827</time><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=A+brief+account+of+microscopical+observations+on+the+particles+contained+in+the+pollen+of+plants+%3B+and+on+the+general+existence+of+active+molecules+in+organic+and+inorganic+bodies&rft.jtitle=Flor%C3%A6+Nov%C3%A6+Holland%C3%A6&rft.aulast=Brown&rft.aufirst=Robertus&rft.date=1827&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3A%C3%89quation+de+diffusion">

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> <a href="Joseph_Fourier" title="Joseph Fourier">Joseph Fourier</a>, <cite class="italique">Théorie analytique de la chaleur</cite>, Didot Paris, <time>1822</time><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Th%C3%A9orie+analytique+de+la+chaleur&rft.pub=Didot+Paris&rft.aulast=Fourier&rft.aufirst=Joseph&rft.date=1822&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3A%C3%89quation+de+diffusion">

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : allemand">(de)</abbr> <a href="Albert_Einstein" title="Albert Einstein">Albert Einstein</a>, « <cite style="font-style:normal" lang="de">Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen</cite> », <a href="Annalen_der_Physik" title="Annalen der Physik">Annalen der Physik</a>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 322, <abbr class="abbr" title="numéro">no</abbr> 8,‎ <time>1905</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 549–560 (<a href="International_Standard_Serial_Number" title="International Standard Serial Number">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://portal.issn.org/resource/issn/0003-3804">0003-3804</a>, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">DOI</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.1002/andp.19053220806">10.1002/andp.19053220806</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.physik.uni-augsburg.de/annalen/history/einstein-papers/1905_17_549-560.pdf">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=%C3%9Cber+die+von+der+molekularkinetischen+Theorie+der+W%C3%A4rme+geforderte+Bewegung+von+in+ruhenden+Fl%C3%BCssigkeiten+suspendierten+Teilchen&rft.jtitle=Annalen+der+Physik&rft.issue=8&rft.aulast=Albert+Einstein&rft.date=1905&rft.volume=322&rft.pages=549%E2%80%93560&rft.issn=0003-3804&rft_id=info%3Adoi%2F10.1002%2Fandp.19053220806&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3A%C3%89quation+de+diffusion">

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : allemand">(de)</abbr> <a href="Adolf_Fick" title="Adolf Fick">A. Fick</a>, « <cite style="font-style:normal" lang="de">Ueber Diffusion</cite> », <a href="Annalen_der_Physik" title="Annalen der Physik">Annalen der Physik</a>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 170 (4. Reihe 94),‎ <time>1855</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 59-86<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Ueber+Diffusion&rft.jtitle=Annalen+der+Physik&rft.aulast=Fick&rft.aufirst=A.&rft.date=1855&rft.volume=170+%284.+Reihe+94%29&rft.pages=59-86&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3A%C3%89quation+de+diffusion">

</li>

<li id="cite_note-CF_Gauss,_1840-6"><a href="#cite_ref-CF_Gauss,_1840_6-0">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : allemand">(de)</abbr> <a href="Carl_Friedrich_Gauss" title="Carl Friedrich Gauss">Carl Friedrich Gauss</a>, « <cite style="font-style:normal" lang="de">Allgemeine lehsatze in beziehung auf die im verkehrten verhaltnisse des quadrats der entfernung wirkenden anziehung-und abstossungs- krafte</cite> », Werke, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 1, <abbr class="abbr" title="numéro">no</abbr> 4,‎ <time>1840</time> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-49319-5_6">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Allgemeine+lehsatze+in+beziehung+auf+die+im+verkehrten+verhaltnisse+des+quadrats+der+entfernung+wirkenden+anziehung-und+abstossungs-+krafte&rft.jtitle=Werke&rft.issue=4&rft.au=Carl+Friedrich+Gauss&rft.date=1840&rft.volume=1&rft_id=https%3A%2F%2Flink.springer.com%2Fchapter%2F10.1007%2F978-3-642-49319-5_6&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3A%C3%89quation+de+diffusion">

</li>

<li id="cite_note-Mathematical_Physics_in_Diffusion_Problems_2015-7"><a href="#cite_ref-Mathematical_Physics_in_Diffusion_Problems_2015_7-0">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Takahisa Okino, « <cite style="font-style:normal" lang="en">Mathematical Physics in Diffusion Problems</cite> », Journal of Modern Physics, <abbr class="abbr" title="numéro">no</abbr> 6,‎ <time>2015</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 2109-2144<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Mathematical+Physics+in+Diffusion+Problems&rft.jtitle=Journal+of+Modern+Physics&rft.issue=6&rft.aulast=Okino&rft.aufirst=Takahisa&rft.date=2015&rft.pages=2109-2144&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3A%C3%89quation+de+diffusion">

</li>

<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> <a href="Paul_Langevin" title="Paul Langevin">Paul Langevin</a>, « <cite style="font-style:normal">Sur la théorie du mouvement brownien</cite> », <a href="Comptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l'Acad%C3%A9mie_des_sciences" title="Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences">Comptes-rendus de l'Académie des Sciences</a>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 146,‎ <time>1908</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 530-532 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3100t/f530%20Lire%20en%20ligne%20sur%20Gallica">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Sur+la+th%C3%A9orie+du+mouvement+brownien&rft.jtitle=Comptes-rendus+de+l%27Acad%C3%A9mie+des+Sciences&rft.aulast=Langevin&rft.aufirst=Paul&rft.date=1908&rft.volume=146&rft.pages=530-532&rft_id=https%3A%2F%2Fgallica.bnf.fr%2Fark%3A%2F12148%2Fbpt6k3100t%2Ff530+Lire+en+ligne+sur+Gallica&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3A%C3%89quation+de+diffusion">

</li>

<li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : allemand">(de)</abbr> <a href="Ludwig_Boltzmann" title="Ludwig Boltzmann">L. Boltzmann</a>, « <cite style="font-style:normal" lang="de">Zur integration der diffusionscoefficienten</cite> », <a href="Annalen_der_Physik" title="Annalen der Physik">Annalen der Physik</a>, <abbr class="abbr" title="numéro">no</abbr> 53,‎ <time>1894</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 959-964<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Zur+integration+der+diffusionscoefficienten&rft.jtitle=Annalen+der+Physik&rft.issue=53&rft.aulast=Boltzmann&rft.aufirst=L.&rft.date=1894&rft.pages=959-964&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3A%C3%89quation+de+diffusion">

</li>

<li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> C. Matano, « <cite style="font-style:normal" lang="en">On the relation between diffusion-coefficients and concentrations of solid metals</cite> », Japanese Journal of Physics, <abbr class="abbr" title="numéro">no</abbr> 8,‎ <time>1933</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 109-113<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=On+the+relation+between+diffusion-coefficients+and+concentrations+of+solid+metals&rft.jtitle=Japanese+Journal+of+Physics&rft.issue=8&rft.aulast=Matano&rft.aufirst=C.&rft.date=1933&rft.pages=109-113&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3A%C3%89quation+de+diffusion">

</li>

<li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Takahisa Okino, « <cite style="font-style:normal" lang="en">New mathematical solution for analyzing interdiffusion problems</cite> », Materials Transactions, <abbr class="abbr" title="numéro">no</abbr> 52,‎ <time>2011</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 2220-2227<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=New+mathematical+solution+for+analyzing+interdiffusion+problems&rft.jtitle=Materials+Transactions&rft.issue=52&rft.aulast=Okino&rft.aufirst=Takahisa&rft.date=2011&rft.pages=2220-2227&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3A%C3%89quation+de+diffusion">

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</ol></div>

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<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Voir_aussi">Voir aussi</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bibliographie">Bibliographie</h3></div>

<ul><li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Horatio Scott Carslaw et John Conrad Jaeger, <cite class="italique" lang="en">Conduction of Heat in Solids</cite>, Oxford, <a href="Clarendon_Press" class="mw-redirect" title="Clarendon Press">Clarendon Press</a>, <time>1959</time><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Conduction+of+Heat+in+Solids&rft.place=Oxford&rft.pub=Clarendon+Press&rft.au=Horatio+Scott+Carslaw&rft.au=John+Conrad+Jaeger&rft.date=1959&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3A%C3%89quation+de+diffusion"></li>

<li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> John Crank, <cite class="italique" lang="en">The Mathematics of Diffusion</cite>, Oxford, <a href="Clarendon_Press" class="mw-redirect" title="Clarendon Press">Clarendon Press</a>, <time>1956</time><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+Mathematics+of+Diffusion&rft.place=Oxford&rft.pub=Clarendon+Press&rft.aulast=Crank&rft.aufirst=John&rft.date=1956&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3A%C3%89quation+de+diffusion"></li>

<li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Jon Mathews et Robert L. Walker, <cite class="italique" lang="en">Mathematical methods of physics</cite>, New York, W. A. Benjamin, <time>1970</time>, <abbr class="abbr" title="deuxième">2e</abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr>, 501 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> 0-8053-7002-1)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Mathematical+methods+of+physics&rft.place=New+York&rft.pub=W.+A.+Benjamin&rft.edition=2&rft.aulast=Mathews&rft.aufirst=Jon&rft.au=Robert+L.+Walker&rft.date=1970&rft.tpages=501&rft.isbn=0-8053-7002-1&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3A%C3%89quation+de+diffusion"></li>

<li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> R. K. Michael Thambynayagam, <cite class="italique" lang="en">The Diffusion Handbook : Applied Solutions for Engineers</cite>, <a href="McGraw-Hill_Education" title="McGraw-Hill Education">McGraw-Hill</a>, <time>2011</time>, 2048 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> 978-0-07-175184-1 et 0-07-175184-X)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+Diffusion+Handbook&rft.pub=McGraw-Hill&rft.stitle=Applied+Solutions+for+Engineers&rft.aulast=Michael+Thambynayagam&rft.aufirst=R.+K.&rft.date=2011&rft.tpages=2048&rft.isbn=978-0-07-175184-1&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3A%C3%89quation+de+diffusion"></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Articles_connexes">Articles connexes</h3></div>

<ul><li><a href="Diffusivit%C3%A9" title="Diffusivité">Diffusivité</a></li>

<li><a href="%C3%89quation_de_la_chaleur" title="Équation de la chaleur">Équation de la chaleur</a></li>

<li><a href="%C3%89quation_de_Fokker-Planck" title="Équation de Fokker-Planck">Équation de Fokker-Planck</a></li>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Liens_externes">Liens externes</h3></div>

<div class="liste-horizontale"><a href="Autorit%C3%A9_(sciences_de_l'information)" title="Autorité (sciences de l'information)">Notices d'autorité</a> : <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.ndl.go.jp/auth/ndlna/01180069">Japon</a></li> </ul></div>

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</main>

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</body></html>